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Operaciones con polinomios



Un polinomio es una expresión que se construye por una o más variables, usando solamente las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos.



También los polinomios pueden ser utilizados en la planificación financiera.

 Por ejemplo:
 Una ecuación polinómica se puede utilizar para calcular la cantidad de interés que se devengará de una cantidad de depósito inicial en una inversión o cuenta de ahorros a una tasa de interés dada. Si una cuenta de ahorros con un depósito inicial de $ 3.000 gana interés del 3 por ciento, entonces esta ecuación polinómica demuestra el interés ganado por tres años:
 Interés= (3000)( 3%)(3). En esta situación, la cuenta de ahorro acumularía B$ 270 de intereses durante los tres años.

Ejemplos
·        El polinomio  es de grado 4, tiene cinco términos y cuyos coeficientes son: ,  ,  ,  ,
·       La expresión  no es un polinomio, porque los exponentes de la variable x no son números reales.

Igualdad de polinomios


Dos polinomios  y  son iguales si tienen iguales los coeficientes del mismo grado.
Los polinomios     y   son iguales.
Los polinomios     y   no son iguales, sus coeficientes no coinciden
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1.Ordenamos los polinomios, si no lo están.
 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) +  Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2. Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) +  Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x – 3
3. Sumamos los monomios semejantes.
P(x) +  Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x – 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3
P(x) −  Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de polinomios

1.Multiplicación de una constante por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
2.Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
3.Multiplicación de polinomios
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
            P(x) = 2x2 − 3    Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) ·  Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

Resolver la división de polinomios.

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) :  Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente

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